Qué es una función: dominio y rango
Una función f es una regla que asocia a cada elemento de un conjunto de partida (el dominio) un único elemento de un conjunto de llegada. Se escribe f de x igual a la regla, y se lee «f aplicada a x devuelve…». La notación f(x) no es un producto: es el valor de salida para la entrada x.
La idea de correspondencia
Piensa en una máquina: introduces un número, la máquina lo transforma según una fórmula fija y devuelve otro. Si metes dos veces el mismo valor, sale siempre el mismo resultado. Esa determinista unicidad define la función.
Dominio: qué entradas se permiten
- Es el conjunto de valores de x para los que la regla tiene sentido.
- Se restringe al dividir entre cero, al raíz de índice par o al logaritmo de no positivos.
- Determinarlo antes de calcular evita conclusiones falsas fuera de contexto.
Rango o imagen: qué salidas aparecen
Es el conjunto de valores que f(x) toma cuando x recorre todo el dominio. Hallar el rango pregunta, al revés que el dominio: ¿qué resultados puede producir esta regla?
Restricciones que recortan el dominio
- División: el denominador no puede anularse.
- Raíz cuadrada: el contenido debe ser mayor o igual que cero.
- Logaritmo: el argumento debe ser estrictamente positivo.
Las cuatro representaciones
| Forma | Ejemplo | Qué muestra mejor |
|---|---|---|
| Algebraica | f de x igual a x al cuadrado menos uno | la regla exacta para calcular |
| Numérica | tabla de pares x, f(x) | valores concretos y tendencias |
| Gráfica | curva en el plano | forma global, máximos y cortes |
| Verbal | «eleva al cuadrado y resta uno» | el significado de la operación |
La prueba de la recta vertical
En una gráfica, una curva representa una función si ninguna recta vertical la corta en más de un punto. Si una vertical toca dos puntos, a una misma x le corresponden dos y: no es función.
Intervalos y acotaciones
- Dominios como intervalo abierto, cerrado o semiabierto según incluyan extremos.
- El símbolo de infinito marca ausencia de cota, no un valor alcanzable.
- Escribir bien el dominio es parte de la respuesta, no un detalle.
Función evaluada en un punto
Calcular f de tres significa sustituir x por tres en la regla y operar. Esta operación tan simple es la que un modelo ejecuta millones de veces al predecir.
Funciones definidas a trozos
A veces la regla cambia según la zona del dominio: una cosa para valores negativos, otra para positivos. Son funciones legítimas siempre que cada entrada reciba una única salida.
Para qué sirve en datos
Cada modelo es una función que lleva características a predicciones; cada transformación de datos es una función aplicada columna a columna. Dominio y rango se traducen en «qué entradas acepta el modelo» y «qué salidas puede emitir».
Errores frecuentes
- Olvidar las restricciones del dominio y evaluar la función en valores prohibidos.
- Confundir rango con dominio, o dar por hecho que toda salida es posible.
- Aceptar como función una gráfica donde una recta vertical la corta en más de un punto.
Ejemplo resuelto: dominio de una raíz cociente
Considera la función que divide la raíz cuadrada de x menos tres entre x menos cinco. Para hallar su dominio se combinan dos condiciones.
- La raíz exige un contenido no negativo: x menos tres mayor o igual que cero, luego x mayor o igual que tres.
- La división exige un denominador no nulo: x menos cinco distinto de cero, luego x distinto de cinco.
- Se interceptan ambas condiciones sobre los reales.
- Queda el intervalo de x mayores o iguales que tres excluyendo el cinco.
- Cualquier valor fuera de ese conjunto haría la regla indefinida.
¿Para qué sirve en la realidad?
Saber el dominio de un modelo evita predecir donde no hay datos válidos: si una función de coste solo admite cantidades no negativas, alimentarla con valores imposibles genera salidas sin sentido.
El dominio de la función que divide uno entre x menos dos es:
Una correspondencia que asigna a cierta entrada dos valores distintos sigue siendo una función.
Función
Toca una tarjeta para ver la respuesta.
Clasifica cada restricción según qué operación la provoca.
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Función (matemáticas)Correspondencia que asigna a cada elemento una única imagen.
Une cada operación con la restricción que impone sobre el dominio:
Función, dominio y rango
- La función
- Correspondencia
- una entrada, una salida
- una entrada, una salida
- determinista
- Correspondencia
- entradas admitidas
- salidas posibles
Dominio de una funciónConjunto de valores de entrada para los que la función está definida.
Para el coste de producir q unidades, modelado por una fórmula con raíz cuadrada de q menos cien, explica en dos frases qué restringe el dominio y qué sentido tiene ese límite.
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