Sistemas de ecuaciones 2×2

Diagrama de matematicas fundamentales: ecuaciones algebraicas, parabola y graficas de funciones. — Herramientas matematicas fundamentales: algebra, funciones y trigonometria.

Mapa conceptual

Matematicas Fundamentales
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Un sistema como x + y = 10 ; 2x − y = 5 tiene dos incógnitas y dos ecuaciones. Una sola ecuación deja infinitas soluciones (una recta); dos ecuaciones, si son independientes, fijan un único punto. El trabajo es hallarlo con cualquiera de los tres métodos, todos equivalentes.

Los tres métodos, elegidos por comodidad

Sustitución: despejas una variable en una ecuación y la «sustituyes» en la otra.
Igualación: despejas la MISMA variable en las dos ecuaciones e igualas.
Eliminación (reducción): sumas o restas las ecuaciones (tras multiplicar por un número) para hacer desaparecer una variable.

En el ejemplo, la eliminación es inmediata: al sumar x + y = 10 y 2x − y = 5, la y desaparece porque +y y −y se cancelan. Queda 3x = 15, o sea x = 5, y sustituyendo y = 5.

Eliminación directa

x + y = 10 ⟹ 3 x = 15 ⟹ x = 5 ⟹ y = 5

Al sumar ambas ecuaciones se cancela y y queda 3x = 15; de ahí x = 5 y luego y = 5. El par (5, 5) verifica las dos.

Interpretación gráfica: las tres posibilidades

Dos rectas que se cortan en (5, 5)

f(x) = 10 - x · f(x) = 2*x - 5

Antes de resolver, mirar pendientes te dice si hay solución: paralelas = cero soluciones, coincidentes = infinitas.
Situación geométrica	Significado algebraico	N.º de soluciones
Rectas que se cortan	ecuaciones independientes	una
Rectas paralelas	incompatibles (misma pendiente, distinto corte)	ninguna
Rectas que coinciden	dependientes (una es múltiplo de la otra)	infinitas

¿Cuántas soluciones tiene el sistema 2x + 2y = 6 ; x + y = 3 ?

Un sistema 2×2 puede tener exactamente dos soluciones.

Une cada sistema con la descripción de su solución.

El método de busca hacer desaparecer una variable sumando o restando ecuaciones. Geométricamente, un sistema con solución única corresponde a dos rectas que se . Si las rectas son paralelas, el sistema no tiene .

Dónde se cae la gente

Elegir mal el método y perder tiempo: si ya tienes x despejada, usa sustitución; si los coeficientes se cancelan solos, usa eliminación.
Olvidar verificar: sustituye la solución en AMBAS ecuaciones; si solo cumple una, hay error.
Confundir «paralelas» con «coincidentes»: las paralelas no se tocan (0 soluciones), las coincidentes son la misma recta (∞).

Ejemplo resuelto

Resuelve 3x + 2y = 16 ; x − y = 2 por sustitución.
Despeja en la segunda: x = y + 2.
Sustituye en la primera: 3(y + 2) + 2y = 16.
Simplifica: 3y + 6 + 2y = 16 → 5y = 10 → y = 2.
Recupera x: x = 2 + 2 = 4. Solución (4, 2). Verifica: 3·4 + 2·2 = 16 ✓ y 4 − 2 = 2 ✓.

Los sistemas lineales no son un capricho escolar: el ajuste de mínimos cuadrados, el cálculo de un plano de separación o el PCA terminan resolviendo sistemas como este, solo que con miles de incógnitas y no dos. Dominar el 2×2 a mano es lo que te hará confiar cuando el computador resuelva el de 10 000.

Métodos y casos

sustitución

despejo y reemplazo en la otra

igualación

despejo la misma y igualo

eliminación

sumo/resto para cancelar

se cortan

1 solución

paralelas

0 soluciones

coinciden

∞ soluciones

verificar

sustituir en ambas ecuaciones

Toca una tarjeta para ver la respuesta.

Khan Academy · Sistemas de ecuacionesLos tres métodos con ejercicios y su interpretación gráfica.

Video complementario

Recurso audiovisual para reforzar los conceptos.

Plantea un problema real con dos condiciones (por ejemplo, comprar lápices y libretas con un gasto total y una diferencia dada de cantidades). Tradúcelo a un sistema 2×2, resuélvelo por eliminación y explica qué significa tu solución.

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Khan Academy: AlgebraCurso completo de algebra y funciones.

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