Reglas de derivación

Diagrama de calculo diferencial: curva con recta tangente mostrando la derivada como pendiente. — Conceptos clave del calculo diferencial: limites, derivadas y optimizacion.

Mapa conceptual

Calculo Diferencial
- Limites
  - Sucesiones
  - Funcion
  - Continuidad
- Derivada
  - Razon de cambio
  - Reglas
  - Cadena
- Aplicaciones
  - Recta tangente
  - Aproximacion
  - Razones relacionadas
- Optimizacion
  - Maximos minimos
  - Gradiente
  - Multivariable

Las cuatro que se memorizan hoy

La regla del producto y del cociente son las que más errores generan: apréndelas con un ejemplo, no con los ojos cerrados.
Regla	Fórmula	Memorización oral
Constante	(c) = 0	lo que no cambia, no tiene pendiente
Potencia	(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹	baja el exponente a coeficiente y le resta uno
Suma	(f + g) = f + g	se deriva término a término
Producto	(f·g) = f·g + f·g	deriva el primero, deja el otro, y al revés
Cociente	(f/g) = (f·g − f·g)/g²	«abajo·deriva-arriba menos arriba·deriva-abajo, todo sobre abajo al cuadrado»

Ejemplo guiado con la potencia

Deriva f(x) = 3x⁴ − 5x² + 7.
Suma: deriva término a término.
(3x⁴) = 3·4x³ = 12x³; (5x²) = 5·2x = 10x; (7) = 0.
Resultado: f(x) = 12x³ − 10x.
Comprueba en x = 1: 12 − 10 = 2, la pendiente de f en x = 1.

Producto: el error del signo

Regla del producto

(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'

Dos sumandos, cada uno derivando un factor distinto. NO es u·v.

Para derivar (x² · sin x): u = x², v = sin x, u = 2x, v = cos x. Resultado: 2x·sin x + x²·cos x. Nótese que el resultado es una SUMA de dos productos, no un producto de derivadas.

Cociente: cuidado con el denominador

Regla del cociente

(u / v)' = \frac{u}{'}

El orden importa: primero deriva-arriba, y se resta el otro término. Dividir entre v², no entre v.

¿Cuál es la derivada de f(x) = x³·ln(x)?

La derivada de una suma es la suma de las derivadas.

Une cada función con su derivada.

Cómo se cae en cada regla

Producto: derivar los dos factores a la vez. Recuerda la oral: «deriva el primero por el segundo sin tocar, más el primero sin tocar por la derivada del segundo».
Cociente: intercambiar el orden de la resta, cambiando el signo del resultado.
Potencia con exponente negativo: (1/x) = x⁻¹, así que su derivada es −x⁻², o sea −1/x².
Constante multiplicando: (5x²) = 5·2x = 10x; la constante delante NO se deriva, acompaña.

Ejemplo resuelto

Deriva f(x) = (x² + 1)/(x − 3).
Identifica u = x² + 1 y v = x − 3; u = 2x, v = 1.
Aplica la regla del cociente: (2x(x − 3) − (x² + 1)·1)/(x − 3)².
Expande el numerador: 2x² − 6x − x² − 1.
Resultado: (x² − 6x − 1)/(x − 3)².

Dominar estas reglas es el requisito práctico para el resto de la carrera: sin ellas, el cálculo de gradientes de una red se vuelve inabordable. Y la que falta —la regla de la cadena— es la que permite derivar composiciones, el corazón del backpropagation que verás en 4.º semestre.

Derivadas que hay que tener de memoria

(c)

0

(xⁿ)

n·xⁿ⁻¹

(f+g)

f + g

(fg)

fg + fg

(f/g)

(fg − fg)/g²

(sin x)

cos x

(cos x)

−sin x

(eˣ)

eˣ

(ln x)

1/x

Toca una tarjeta para ver la respuesta.

Reglas de derivación (repaso formal)Tabla de reglas con ejercicios graduados, incluyendo producto y cociente.

Video complementario

Recurso audiovisual para reforzar los conceptos.

Escribe la derivada de f(x) = x³·cos(x) aplicando el producto y, sin sustituir valores, deduce cuántas veces tu expresión tiene un factor (x²) que podrías extraer como factor común. ¿Ayuda eso a encontrar los ceros de f?

Tu texto se guarda sólo en este dispositivo.

3Blue1Brown: CalculusSerie visual de calculo diferencial con intuicion geometrica.

Reglas de derivación

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