Continuidad y asíntotas

Diagrama de calculo diferencial: curva con recta tangente mostrando la derivada como pendiente. — Conceptos clave del calculo diferencial: limites, derivadas y optimizacion.

Mapa conceptual

Calculo Diferencial
- Limites
  - Sucesiones
  - Funcion
  - Continuidad
- Derivada
  - Razon de cambio
  - Reglas
  - Cadena
- Aplicaciones
  - Recta tangente
  - Aproximacion
  - Razones relacionadas
- Optimizacion
  - Maximos minimos
  - Gradiente
  - Multivariable

Decimos que f es continua en a cuando se cumplen tres cosas a la vez: f(a) existe, el límite de f cuando x tiende a a existe, y ambos coinciden. Que falle cualquiera de las tres ya es discontinuidad.

Los tres fallos, y su nombre

Evitable: el límite existe pero f(a) no, o no vale lo mismo. Un simple hueco; se «repara» definiendo bien un punto.
De salto: los límites laterales existen pero son distintos. Típico de funciones a trozos y de variables_indicatoras.
Infinita: la función se dispara cerca de a. Ahí aparece una asíntota vertical.

Asíntotas: las rectas-destino

Las asíntotas describen el comportamiento en los bordes del dominio: los polos y el «infinito».
Tipo	Cómo se detecta	Ejemplo
Vertical	el denominador se anula en a y la función crece sin cota	1/(x − 2) en x = 2
Horizontal	el límite cuando x → ±∞ es un número L	1/x tiende a 0
Oblicua	el grado del numerador supera al del denominador en uno	x + 1/x

1/(x−2): se dispara al acercarse a 2

f(x) = 1/(x - 2) · f(x) = 2

La función f(x) = (x² − 1)/(x − 1) presenta en x = 1 una discontinuidad…

Toda función racional es continua en todo su dominio.

Clasifica cada situación según el tipo de discontinuidad o asíntota que describe.

Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.

Errores al leer continuidad

Anunciar asíntota vertical cuando el factor problemático cancela: eso es un hueco evitable.
Olvidar que el dominio no incluye los polos: la pregunta no es «¿es continua en 2?» sino «¿está en su dominio?».
Confundir asíntota horizontal con valor alcanzado: una curva puede tocar su asíntota en algún punto y seguir teniendo ese límite al infinito.

Ejemplo resuelto

Analiza f(x) = 1/(x² − 4).
Factoriza el denominador: (x − 2)(x + 2); dominio: todo x distinto de ±2.
Los factores no cancelan: en x = 2 y x = −2 hay discontinuidades infinitas.
Asíntotas verticales: x = 2 y x = −2.
Como el grado del denominador supera al del numerador, el límite en ±∞ es 0: asíntota horizontal y = 0.

Para modelar, la continuidad no es un adorno teórico: el teorema del valor intermedio garantiza que una función continua que pasa de negativo a positivo tiene un cero, que es exactamente lo que busca un algoritmo de raíz. Y los puntos de discontinuidad marcan dónde un modelo deja de ser confiable.

Botiquín de continuidad

continua en a

f(a) existe, límite existe, coinciden

evitable

hueco, el límite existe

de salto

laterales distintos

infinita

se dispara: asíntota vertical

asíntota horizontal

límite finito en ±∞

valor intermedio

continua + cambio de signo = hay raíz

Toca una tarjeta para ver la respuesta.

Continuidad y asíntotas (repaso formal)Clasificación de discontinuidades y cálculo de asíntotas con ejemplos graduados.

Reflexiona sobre un modelo real (precio de la luz por franjas, coste de envío por peso, probabilidad de error por tamaño de muestra) y decide si su función de coste es continua o presenta saltos. Indica dónde y de qué tipo.

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3Blue1Brown: CalculusSerie visual de calculo diferencial con intuicion geometrica.

Compuerta de dominio: Continuidad y asíntotas

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Continuidad y asíntotas

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